Apresentaremos aqui alguns resultados em forma de exercícios que caracterizam compacidade por meio de sequências, principalmente em casos de espaços métricos e aplicações no nosso amigo mais próximo: $\mathbb{R}^n$.

• Seja $(X,\tau)$ um espaço topológico com bases locais enumeráveis, $T_1$ e compacto. Mostre que toda sequência admite subsequência convergente.

Um espaço onde toda sequência admite uma subsequência convergente é chamado de sequencialmente completo. Vale lembrar que em espaços métricos esse conceito é equivalente ao de compacidade, porém, não vale no caso geral. Recomendamos ao leitor buscar um exemplo.

Agora estudaremos caracterização da compacidade em termos de sequências em espaços métricos.

• Seja $(X,d)$ um espaço métrico. Suponha que toda sequência de pontos de $X$ admite subsequência convergente. Prove que dada $\mathcal{C}$ cobertura aberta para $X$, existe $r>0$ tal que, para todo $x \in X$, existe $C \in \mathcal{C}$ tal que $B_{r}(x) \subset C$.

1. Suponha que não vale o resultado, i.e. ($∀ r>0, ∃ x$ tal que $∀ C \in \mathcal{C}$ tem-se que $B_{r}(x) ⊄ C$ );
2. Obtenha a partir do primeiro item uma sequência e suponha que a mesma possui subsequência que converge para um $x_0$;
3. Utilize bolas centradas em $x_0$ para encontrar uma contradição com o primeiro item.

• Considere $(X,d)$ um espaço métrico tal que toda sequência admite subsequência convergente. Mostre que $X$ é compacto.

1. Suponha que não seja compacto;
2. Considere $r>0$ dado pelo exercício anterior e $x_0 \in X$. Mostre que para cada $n>0$ sempre podemos tomar $x_n \in X\setminus(B_{r}(x_0)\cup\dots\cup B_{r}(x_{n-1}))$;
3. Por último conclua que $x_n$ não tem subsequência convergente.

• Prove que todo espaço métrico compacto é completo.

• Dado $(X,d)$ um espaço métrico totalmente limitado. Mostre que se $A \subset X$, então $A$ é totalmente limitado.

• Seja $(X,d)$ um espaço métrico. Prove que $(X,d)$ é compacto se, e somente se, é totalmente limitado.

1. Ida: Use o fato de que toda sequência em um espaço métrico compacto possui subsequência convergente para ver que ou existe um número finito de pontos $x_1, \dots, x_n$ em $X$ tais que $X=B_{\frac{\epsilon}{2}}(x_1)\cup \dots \cup B_{\frac{\epsilon}{2}}(x_n)$ ou então é possível obter uma sequência em $X$ tal que $d(x_m,x_n)\geq \frac{\epsilon}{2}$ para $m \neq n$ quaisquer.
2. Volta: Analise os casos: I = $\{x_n ; n \in \mathbb{N}\}$ é finito e II = $\{x_n ; n \in \mathbb{N}\}$ é infinito;
3. No caso II use o exercício anterior repetidamente de modo que para cada $k+1$ tomando $\epsilon_{k+1} = \frac{1}{k+2}$ escolhendo $F_{k+1}$ finito de forma que $\{x_n ; n>n_k\} \subset \bigcup_{x \in F_{k+1}} B_{\epsilon_{k+1}}(x)$ e escolhendo $x_{n_k} \in F_{k+1}$ de forma que $B_{\epsilon_{k+1}}(x_{n_{k+1}})∩\{x_n ; n>n_k\}$ seja infinito.

Note que no resultado anterior o totalmente limitado é necessário, pois por exemplo o leitor pode considerar $\mathbb{N}$ com a métrica discreta e verificar que $(\mathbb{N},d)$ é completo e limitado, porém não é compacto.

O seguinte exercício nos diz que toda função real contínua definida num espaço compacto é limitada e atinge os seus extremos.

• Considere $f:K \to \mathbb{R}$ contínua e $K$ compacto. Então existem $m, M \in K$ tais que para todo $x \in K$, $f(m) \leq f(x) \leq f(M)$.

• (Bolzano-Weierstrass) Mostre que em $\mathbb{R}^n$ toda sequência limitada admite subsequência convergente.

• Prove que todas as normas sobre $\mathbb{R}^n$ são equivalentes.

1. Considere duas normas quaisquer $||.||_1$ e $||.||_2$ e defina $||.||_2 : (\mathbb{R}^n,||.||_1) \to (\mathbb{R}^n,||.||_2)$ mostre que essa função é contínua;
2. Mostre que $S=\{(x_1, \dots, x_{n-1}) \in \mathbb{R}^{n-1}:||(x_1, \dots, x_{n-1})||_1 = 1\}$ é um conjunto compacto;
3. Use os itens 1 e 2 para concluir o exercício.