Sejam $(X, \preceq)$, $(Y, \unlhd)$ conjuntos totalmente ordenados e $\tau$, $\rho$ suas topologias da ordem, respectivamente. Se $X, Y$ são enumeráveis, $\preceq$, $\unlhd$ são ordens densas e $(X, \preceq)$, $(Y, \unlhd)$ não possuem elementos extremos, então $(X, \tau)$, $(Y, \rho)$ são homeomorfos.

Demonstração. Note que basta construir um isomorfismo de ordem entre $(X, \preceq)$ e $(Y, \unlhd)$.

Como $X$, $Y$ são enumeráveis, podemos escrever $X = \{x_n: n\in\mathbb{N}\}$, $Y = \{y_n: n\in\mathbb{N}\}$. Considere a sequência de funções $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ dadas recursivamente da seguinte forma:

• $f_0:\{x_0\}\rightarrow\{y_0\}$ dada por $f(x_0) = y_0$.
• Seja $m$ o menor índice tal que $x_m\not\in Dom(f_{2n})$. Note que $f_{2n}:Dom(f_{2n})\rightarrow Y$ é injetora e preserva a ordem $(*)$, portanto, por este lema, existe $f_{2n+1}:Dom(f_{2n})\cup \{x_m\}\rightarrow Y$ extensão de $f_{2n}$ injetora e que preserva a ordem.
• Seja $m$ o menor índice tal que $y_m\not\in Im(f_{2n+1})$. Note que $f_{2n+1}^{-1}:Im(f_{2n+1})\rightarrow X$ é injetora e preserva a ordem $(*)$, portanto, por este lema, existe $f_{2n+2}^{-1}:Im(f_{2n+1})\cup \{y_m\}\rightarrow X$ extensão de $f_{2n+1}^{-1}$ injetora e que preserva a ordem.

$(*):$ Prova por indução.

Assim, temos que $f = \lim f_n$ é uma função injetora e preserva a ordem. Note que $Dom(f) = X$ pois $x_n\in X$ pertence ao domínio de $f_k$ para todo $k\ge 2n+1$ e $Im(f) = Y$ pois $y_n\in Y$ pertence à imagem de $f_k$ para todo $k\ge 2n+2$.