Sejam $n\in\mathbb{N}$, $(\{a_0, a_1, \dots, a_{n+1}\}, \preceq)$, $(Y, \unlhd)$ conjuntos totalmente ordenados e $f:\{a_0, a_1, \dots, a_n\}\rightarrow Y$ função injetora que preserva a ordem. Se $\unlhd$ é uma ordem densa e $(Y, \unlhd)$ não possui elementos extremos, então existe $\bar{f}:\{a_0, a_1, \dots, a_{n+1}\}\rightarrow Y$ função injetora que preserva a ordem e estende $f$.

Demonstração. Suponha, sem perda de generalidade, $a_0, a_1, \dots, a_n$ em ordem crescente.

• Se $a_{n+1}\prec a_0$, note que, como $(Y, \unlhd)$ não possui elementos extremos, existe $y\in Y$, $y\lhd f(a_0)$.
• Se $a_n\prec a_{n+1}$, note que, como $(Y, \unlhd)$ não possui elementos extremos, existe $y\in Y$, $f(a_n)\lhd y$.
• Se $a_0\prec a_{n+1}\prec a_n$, então existe $i\in\{0, 1, \dots, n-1\}$ tal que $a_i\prec a_{n+1}\prec a_{i+1}$. Note que, como $\unlhd$ é uma ordem densa, existe $y\in Y$, $f(a_i)\lhd y\lhd f(a_{i+1})$.

Em cada caso anterior temos que a função $\bar{f}:\{a_0, a_1, \dots, a_{n+1}\}\rightarrow Y$ dada por $$\begin{cases} \bar{f}(a_i) = f(a_i), 0\le i\le n\\ \bar{f}(a_{n+1}) = y \end{cases}$$ é injetora, preserva a ordem e estende $f$.