Segundo Axioma de Enumerabilidade: bases enumeráveis
Definição
Dizemos que um espaço topológico $(X,\tau)$ satisfaz o segundo axioma de enumerabilidade se admite uma base enumerável.
Se um espaço topológico $(X,\tau)$ satisfaz o segundo axioma da enumerabilidade, então também satisfaz o primeiro axioma da enumerabilidade. Demonstração. A volta não necessariamente é verdade, por exemplo a reta de Sorgenfrey possui bases locais enumeráveis, mas não admite base enumerável.
Exemplos
Satisfaz:
- A reta real com a topologia usual. Solução. Além disso, é fácil estender tal demonstração para $\mathbb{R}^n$, notando que bolas de raio racional em centros com componentes racionais formam uma base enumerável.
Não satisfaz: