Bases
Definição e exemplos básicos
Definição: Base
Seja $(X, \tau)$ um espaço topológico. Dizemos que $\mathcal{B} \subset \tau$ é uma base para $(X, \tau)$ se para todo aberto não vazio $A \in \tau$, existe uma famíia $\mathcal{A} \subset \mathcal{B}$ de elementos da base tal que $A=\bigcup_{B \in \mathcal{A}} B$.
- Prove que uma familia $\mathcal{B}$ de subconjuntos de $\tau$ é uma base para $(X, \tau)$ se, e somente se, para todo aberto não vazio $A \in \tau$ e todo $x \in A$, existe $B \in \mathcal{B}$ de forma que $x \in B \subset A$.
- Mostre que $\mathcal{B}=\{] a, b[: a, b \in \mathbb{Q}\}$ é uma base para a topologia usual de $\mathbb{R}$.
- Seja $(X, d)$ um espaço métrico qualquer. prove que $\mathcal{B}=$ $\left\{B_{\frac{1}{n}}(x): x \in X, n \in \mathbb{N}_{>0}\right\}$ é uma base
para $(X, d)$.
- Seja $X$ um conjunto qualquer. $\mathcal{B}=\{\{x\}: x \in X\}$ é uma base para a topologia discreta sobre $X$.
- Mostre que a família $\mathcal{B}=\{[x, y[: x<y\}$ é uma base para a reta de Sorgenfrey.
- Seja $X$ um conjunto e sejam $\tau$ e $\sigma$ topologias sobre $X$. Sejam $\mathcal{B}$ e $\mathcal{C}$ bases para $(X, \tau)$ e $(X, \sigma)$ respectivamente.
- Suponha que para todo $x \in X$ e todo $B \in \mathcal{B}$ e $C \in \mathcal{C}$ tais que $x \in B$ e $x \in C$ existam $C^{\prime} \in \mathcal{C}$ e $B^{\prime} \in \mathcal{B}$ tais que $x \in C^{\prime} \subset B$ e $x \in B^{\prime} \subset C$. Mostre que $\tau=\sigma$.
- Suponha que para todo $x \in X$ e todo $B \in \mathcal{B}$ tal que $x \in B$ exista $C \in \mathcal{C}$ tal que $x \in C \subset B$. É verdade que $\sigma=\tau$ ? Se não for verdade, vale alguma das inclusões?
- Baseado no exercício anterior, Joãozinho propôs o seguinte critério: Sejam $\tau$ e $\rho$ duas topologias sobre $X$. Se, para todo $A \in \tau$ não vazio existe $B \in \rho$ não vazio tal que $B \subset A$ e, para todo $B \in \rho$ não vazio, existe $A \in \tau$ não vazio tal que $A \subset B$, então $\tau=\rho$. Joãozinho está certo?
- Sejam $(X, \tau)$ um espaço topológico e $\mathcal{B}$ base para $(X, \tau)$. Mostre que $\tau$ é a menor topologia que contém $\mathcal{B}$. Isto é, mostre que $\tau=$ $\bigcap_{\sigma \in T} \sigma$ onde $T=\{\sigma: \sigma$ é uma topologia para $X$ tal que $\mathcal{B} \subset \sigma\}$.
- Dado um conjunto $X$ e uma família $\mathcal{B}$ de subconjuntos de $X$, chamamos de topologia gerada por $\mathcal{B}$ o conjunto $[\mathcal{B}]=\bigcap_{\tau \in T} \tau$, onde $T=\{\tau \subset \wp(X): \tau$ é topologia sobre $X$ e $\mathcal{B} \subset \tau\}$.
- Mostre que $T$ definido acima é não vazio (e, portanto, podemos tomar a intersecção).
- Mostre que $[\mathcal{B}]$ é uma topologia sobre $X$.
- Além das condições do exercício anterior, suponha que $\mathcal{B}$ satisfaz:
- $\forall x \in X, \exists B \in \mathcal{B}$ tal que $x \in B$;
- $\forall A, B \in \mathcal{B}, \forall x \in A \cap B, \exists C \in \mathcal{B}$ tal que $x \in C \subset A \cap B$.
- Mostre $\tau=\left\{\bigcup_{B \in \mathcal{B}^{\prime}} B: \mathcal{B}^{\prime} \subset \mathcal{B}\right\}$ é uma topologia sobre $X$.
- Mostre que $[\mathcal{B}]=\tau$.
- Mostre que $\mathcal{B}$ é uma base para $\tau$ (e, portanto, para $[\mathcal{B}]$.
Definição: Sistema fundamental de vizinhanças
Sejam $(X, \tau)$ um espaço topológico e $x \in X$. Dizemos que $\mathcal{V}$ é um sistema fundamental de vizinhanças de $x$ se
(a) Para todo $V \in \mathcal{V}, V$ é vizinhança de $x$;
(b) Para todo aberto $A \subset X$ tal que $x \in A$, existe $V \in \mathcal{V}$ tal que $x \in V \subset A$.
No caso em que os elementos de $\mathcal{V}$ são abertos, chamamos $\mathcal{V}$ de base local para $x$.
- Mostre que, em $\mathbb{R}, \mathcal{V}_{1}=\{] x-\frac{1}{n}, x+\frac{1}{n}\left[: n \in \mathbb{N}_{>0}\right\}$ é um sistema fundamental de vizinhanças de $x$ .
- Prove ainda, em $\mathbb{R}$, que $\mathcal{V}_{2}=\left\{\left[x-\frac{1}{n}, x+\frac{1}{n}\right]: n \in \mathbb{N}_{>0}\right\}$ é um sistema fundamental de vizinhanças de $x$.
- Mostre que Na reta de Sorgenfrey, $\mathcal{V}=\left\{\left[x, x+\frac{1}{n}\left[: n \in \mathbb{N}_{>0}\right\}\right.\right.$ é um sistema fundamental de vizinhanças de $x$.
- Considere $X$ com a topologia discreta. Mostre que $\mathcal{V}_{1}=\{\{x\}\}$ é um sistema fundamental de vizinhanças de $x$, bem como $\mathcal{V}_{2}=\{A \subset X: x \in A\}$.
- Mostre que Se $\mathcal{B}$ é uma base para $(X, \tau)$, então $\mathcal{B}^{\prime}=\{B \cap Y: B \in$ $\mathcal{B}\}$ é uma base para $Y \subset X$ com a topologia de subespaço.
- Seja $(X, \tau)$ espaço topológico. Sejam $x \in X$ e $V$ aberto tal que $x \in V$. Mostre que $\{A \in \tau: x \in A \subset V\}$ é um sistema fundamental de vizinhanças para $x$.
- Sejam $(X, \tau)$ espaço topológico, $x \in X, \mathcal{V}$ sistema fundamental de vizinhanças de $x$ e $W \subset X$ vizinhança de $x$. Mostre que $\{V \cap W: V \in \mathcal{V}\}$ é um sistema fundamental de vizinhanças de $x$.
- Sejam $(X, \tau)$ um espaço topológico, $A \subset X, x \in X$ e $\mathcal{V}$ um sistema fundamental de vizinhanças para $x$. Mostre que $x \in \bar{A}$ se, e somente se, para todo $V \in \mathcal{V}, V \cap A \neq \emptyset$.
- Seja $(X, \tau)$ espaço topológico. Para cada $x \in X$, seja $\mathcal{V}_{x}$ um sistema fundamental de vizinhanças para $x$. Mostre que, dado $A \subset X, A$ é aberto se, e somente se, para todo $x \in A$ existe $V \in \mathcal{V}_{x}$ tal que $x \in V \subset A$.