Bases
Uma base de um espaço topológico é uma subfamília de abertos que gera todos os abertos, ou seja, essa subfamília é suficiente para recuperar todos os abertos do espaço por meio de uniões.
Formalmente, seja $(X,\tau)$ um espaço topológico. Dizemos que $\mathcal{B} \subset \tau$ é uma base para $(X,\tau)$ se para todo aberto não vazio $A \in \tau$, existe uma família $\mathcal{B'} \subset \mathcal{B}$ de elementos da base tal que $A = \bigcup_{B \in \mathcal{B'}} B$.
Proposição:
Uma família $\mathcal{B}$ de subconjuntos de $\tau$ é uma base para $(X,\tau)$ se, e somente se, para todo aberto não vazio $A \subset \tau$ e todo $x \in A$, existe $B \in \mathcal{B}$ de forma que $x \in B \subset A$. Demonstração
Todo espaço topológico tem pelo menos uma base, basta considerar a família de todos os abertos, nesse caso chamamos de base trivial. Além disso, ao acrescentarmos qualquer quantidade de conjuntos abertos a uma base não trivial, ela continua sendo uma base, logo um espaço pode ter várias bases.
Bases do espaço original se relacionam com as de um subespaço, é o que diz a próxima proposição.
Proposição:
Se $\mathcal{B}$ é uma base para $(X,\tau)$, então $\mathcal{B'} = \{Y \cap B : B \in \mathcal{B}\}$ é uma base para $Y \subset X$ com a topologia de subespaço. Demonstração
Exemplos:
- O conjunto $\mathcal{B} = \{]a, b[ ; a,b \in \mathbb{Q} \}$ é uma base para a topologia usual de $\mathbb{R}$.
- Seja $X$ um conjunto qualquer, $\mathcal{B} = \{ \{x\} ; x \in X \}$ é uma base para a topologia discreta sobre $X$. De fato, sejam $x \in X$ e $A \subset X$ tal que $x \in A$, tem-se $x \in \{x\} \subset A$.
Sejam $(X,\tau)$ um espaço topológico e $x \in X$. Dizemos que $\mathcal{V}$ é um sistema fundamental de vizinhanças de $x$ se:
- Para todo $V \in \mathcal{V}$, $V$ é vizinhança de $x$;
- Para todo aberto $A \subset X$ tal que $x \in A$, existe $V \in \mathcal{V}$ tal que $x \in V \subset A$.
No caso em que os elementos de $\mathcal{V}$ são abertos, chamamos de base local para $x$.
Exemplos:
- Na reta de Sorgenfrey, $\mathcal{V} = \{ [x, x + \frac{1}{n}[, n \in \mathbb{N}^*\}$ é uma base local para $x$.
- Em $\mathbb{R}$ com a topologia usual, $\mathcal{V} = \{ [x-\frac{1}{n}, x+\frac{1}{n}] ; n \in \mathbb{N}^* \}$ é um sistema fundamental de vizinhanças fechadas para $x$.