Primeiro Axioma de Enumerabilidade
Definição
Dizemos que um espaço topológico $(X, \tau)$ satisfaz o primeiro axioma de enumerabilidade se todo $x \in X$ tem base local enumerável.
- Para que um espaço topológico satisfaça a definição acima, podemos mostrar simplesmente que todo $x \in X$ admite um sistema fundamental de vizinhanças enumerável, pois isto é equivalente a $x$ admitir uma base local enumerável. Demonstração
- Para mostrar que um espaço topológico não satisfaz o primeiro axioma de enumerabilidade, não é suficiente exibirmos uma base local não enumerável. Em geral, o caminho mais simples é verificar que o espaço não satisfaz determinada propriedade que seja inerente a espaços que satisfazem tal axioma.
Exemplos
- Todo espaço métrico $(X,d)$ satisfaz o primeiro axioma de enumerabilidade. De fato, dado $x \in X$, então $\lbrace B_{\frac{1}{n}}(x):n \in \mathbb{N}_{>0} \rbrace$ é uma base local para $x$. Demonstração
- A Reta de Sorgenfrey satisfaz o primeiro axioma de enumerabilidade. De fato, dado $x \in \mathbb{R}_S$, então $\lbrace [x,x+\frac{1}{n}[ \;: n \in \mathbb{N}_{>0} \rbrace$ é uma base local para $x$. Demonstração
- A Reta Esburacada não satisfaz o primeiro axioma de enumerabilidade. Demonstração
Proposição
Se $(X, \tau)$ satisfaz o primeiro axioma de enumerabilidade, então todo $x \in X$ admite uma base local enumerável e descrescente, ou seja, uma base local $(V_n)_{n \in \mathbb{N}}$ tal que $V_{n+1} \subset V_n$, para todo $n \in \mathbb{N}$. Ideia $\;$ Demonstração