Seja $A_{0}$, um aberto não vazio, a primeira jogada de ALICE. Seja $x \in A_{0}$. Como $X$ é um compacto de Hausdorff, então $X$ é regular. Assim, existe um aberto $V$ tal que $x \in V \subset \overline{V} \subset A_{0}$. Defina $B_{0} = V$ a primeira jogada de BETO.

Numa jogada $n$ qualquer, podemos repetir o processo acima. Se $A_{n}$ é a jogada de ALICE, então para qualquer $x \in A_{n}$ defina $B_{n}$ aberto tal que $x \in B_{n} \subset \overline{B_{n}}\subset A_{n}$.

Vejamos que BETO vence. Note que, como $\overline{B_{n+1}} \subset B_{n}, \forall n \in \mathbb{N}$, temos que $\left( \overline{B_{n}} \right)_{n \in \mathbb{N}}$ é uma sequencia decrescente de compactos não vazios. Logo,

$$ \bigcap_{n \in \mathbb{N}} \overline{B_{n}} = \bigcap_{n \in \mathbb{N}} B_{n} \neq \emptyset $$

$\square$

• Todo compacto de Hausdorff é normal
• Todo espaço normal é regular
• $\left(X, \tau \right)$ é $T_{3} \iff \forall x \in X$ e $\forall V \ni x$ aberto, $\exists A\in \tau$ tal que $x\in A \subset \bar{A} \subset V$