Se BETO tem estratégia vencedora no jogo de Banach-Mazur nos espaços $X$ e $Y$, então BETO tem estratégia vencedora no jogo de Banach-Mazur em $X \times Y$
Demonstração
Seja $A_{0} \in X \times Y$ aberto não vazio a primeira jogada de ALICE. Seja $x_{0} \in A_{0}$. Então, pela definição de topologia produto para produtos finitos, existem abertos $A_{0}^{X} \subset X$, $A_{0}^{Y} \subset Y$ tais que $x_{0} \in A_{0}^{X} \times A_{0}^{Y} \subset A_{0}$. Note que $A_{0}^{X}$ e $A_{0}^{Y}$ são primeiras jogadas válidas para ALICE nos espaços $X$ e $Y$ respectivamente. De fato, ambos são abertos não vazios, pois $\pi^{X}\left( x_{0} \right) \in A_{0}^{X}$ e $\pi^{Y}\left( x_{0} \right) \in A_{0}^{Y}$, onde $\pi^{Y}: X \times Y \rightarrow Y$ são as funções projeção.
Agora, sejam $B_{0}^{X} \subset A_{0}^{X}$ e $B_{0}^{Y} \subset A_{0}^{Y}$ abertos não vazios respostas de BETO segundo sua estratégia vencedora em cada um dos espaços. Defina $B_{0} = B_{0}^{X} \times B_{0}^{Y}$. É claro que $B_{0} \subset A_{0}$ e $B_{0}$ é aberto não vazio, logo, uma resposta válida de BETO para $A_{0}$. Isto finaliza a primeira rodada do jogo.
Se $A_{1} \in B_{0}$ é a resposta de ALICE para $B_{0}$, tome $x_{1} \in A_{1}$ e abertos $A_{1}^{X} \subset X$, $A_{1}^{Y} \subset Y$ tais que $x_{1} \in A_{1}^{X} \times A_{1}^{Y} \subset A_{1}$. É claro que $\pi^{X}\left( x_{1} \right) \in A_{1}^{X} \subset B_{0}^{X}$ e, assim, $A_{1}^{X}$ é uma resposta válida de ALICE para $B_{0}^{X}$ no jogo realizado no espaço $X$. O mesmo vale para $A_{1}^{Y}$ em $Y$. Defina $B_{1}^{X} \subset A_{1}^{X}$ e $B_{1}^{Y} \subset A_{1}^{Y}$ respostas de BETO segundo sua estratégia vencedora em cada espaço. Novamente, defina $B_{1} = B_{1}^{X} \times B_{1}^{Y}$. Como antes, $B_{1}$ é uma resposta válida de BETO para $A_{1}$.
Repita o processo acima para cada $n \in \mathbb{N}$. Resta mostrar que este processo define ume estratégia vencedora para BETO. De fato, como as sequências $\left( B_{n}^{X} \right)_{n \in \mathbb{N}}$ e $\left( B_{n}^{Y} \right)_{n \in \mathbb{N}}$ definem estratégias vencedoras para BETO em $X$ e $Y$ respectivamente, então existem \begin{align} x &\in \bigcap_{n \in \mathbb{N}} B_{n}^{X}\\ y &\in \bigcap_{n \in \mathbb{N}} B_{n}^{Y} \end{align} Note que $\left( x, y \right) \in B_{n}^{X} \times B_{n}^{Y}$ $\forall n \in \mathbb{N}$. Portanto, $$ (x,y) \in \bigcap_{n \in \mathbb{N}} \left[ B_{n}^{X} \times B_{n}^{Y} \right] = \bigcap_{n \in \mathbb{N}} B_{n} $$
e temos o resultado. $\square$