Um dos principais interesses no jogo de Banach-Mazur é sua relação com espaços de Baire.
Proposição 1:
Seja $\left( X, \tau \right)$ um espaço topológico. Se ALICE não tem estratégia vencedora no jogo de Banach-Mazur, então $\left( X, \tau \right)$ é um espaço de Baire. Demonstração
Proposição 2:
Seja $\left( X, \tau \right)$ um espaço topológico. Se $\left( X, \tau \right)$ é um espaço de Baire, então ALICE não tem estratégia vencedora no jogo de Banach-Mazur Demonstração
Corolário 1:
O espaço ser de Baire é equivalente a ALICE não ter estratégia vencedora no jogo de Banach-Mazur
Note que, se BETO tem uma estratégia vencedora num espaço $X$, então ALICE não tem estratégia vencedora. Em particular, $$ \text{BETO tem estratégia vencedora em } X \implies X \text{ é um espaço de Baire} $$ Além disso, se BETO tem estratégia vencedora em $X$, então BETO tem estratégia vencedora em $X \times X$. Em particular, $$ \text{BETO tem estratégia vencedora em } X \implies \text{BETO tem estratégia vencedora em } X \times X \implies X \times X \text{ é um espaço de Baire} $$ No entanto, a existência de um espaço de Baire $T$ tal que $T \times T$ não é de Baire implica que o jogo de Banach-Mazur é indeterminado em $T$. De fato, \begin{align} T \text{ é um espaço de Baire} &\implies \text{ALICE não tem estratégia vencedora em } T\\ T \times T \text{ não é um espaço de Baire} &\implies \text{BETO não tem estratégia vencedora em } T \end{align} A existência de um espaço $T$ como acima foi demonstrada por Cohen.