Dado um espaço topológico $\left( X, \tau \right)$, chamamos de jogo de Banach-Mazur o seguinte jogo infinito entre dois jogadores, ALICE e BETO:
- Rodada 0: ALICE joga um aberto não vazio $A_{0} \in \tau$. BETO responde com um aberto não vazio $B_{0} \subset A_{0}$
- Rodada $n$: ALICE joga um aberto não vazio $A_{n} \subset B_{n-1}$. BETO responde com um aberto não vazio $B_{n} \subset A_{n}$
Após todas as rodadas, ALICE é declarada vencedora se $\bigcap_{n \in \mathbb{N}} A_{n} = \emptyset$. BETO é o vencedor no caso em que a interseção é não vazia.
Note que a mesma condição para determinar o vencedor pode ser aplicada aos conjuntos $B_{n}$, $n \in \mathbb{N}$, isto é, ALICE é declarada vencedora se $\bigcap_{n \in \mathbb{N}} B_{n} = \emptyset$, e BETO é declarado vencedor se a interseção é não vazia.
Proposição 1:
Se $\left( X, \tau \right)$ é um compacto de Hausdorff, então BETO tem estratégia vencedora. Demonstração
Exercício 1:
Se $\left( X, d \right)$ é um espaço métrico completo, então BETO tem estratégia vencedora. Solução
Exercício 2:
Se BETO tem estratégia vencedora em dois espaços $X$ e $Y$, então BETO tem estratégia vencedora em $X \times Y$ Solução