Espaços de Baire
Definição:
Dizemos que $(X, \tau)$ é um Espaço de Baire se para toda família $(A_n)_{n\in\mathbb{N}}$ de abertos densos em $X$, $\displaystyle\bigcap_{n \in \mathbb{N}} A_n$ é denso em $X$.
Tal definição é interessante do ponto de vista topológico pois quando trabalhamos com um espaço qualquer, não necessariamente a intersecção de dois densos será densa, eles podem ser disjuntos, por exemplo. Mas em uma família onde cada denso é aberto, qualquer intersecção finita será densa. Em espaços de Baire podemos repetir esse processo para famílias enumeráveis o que é atrativo.
Perceba que, em um espaço de Baire, qualquer união enumerável de fechados não densos tem interior vazio.
Resultados principais:
Teorema de Baire para compactos:
Se $(X, \tau)$ é um compacto de Hausdorff, então é um espaço de Baire. Demonstração.
Teorema de Baire para espaços métricos completos:
Se $(x,\tau)$ é um espaço métrico completo, então é um espaço de Baire. Demonstração.
Corolários:
- $\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ é um espaço de Baire; Demonstração.
- $\mathbb{Q}$ não é completamente metrizável; Demonstração.
- $\mathbb{Q}$ não é um $G_{\delta}$ em $\mathbb{R}$. Demonstração.
A seguinte proposição nos mostra que não vale a recíproca dos teoremas anteriores.
Proposição:
A reta de Sorgenfrey é um espaço de Baire mas não é localmente compacto nem completamente metrizável. Demonstração.
Veja também:
- Todo espaço localmente compacto de Hausdorff é de Baire;
- Todo espaço enumerável $T_1$ sem pontos isolados não é de Baire; Demonstração
- Todo espaço de Baire é tal que $\displaystyle\bigcap_{n \in \mathbb{N}} A_n$, em que $(A_n)_{n\in\mathbb{N}}$ uma família de abertos densos do espaço, é um espaço de Baire.
- Todo espaço de Baire é de segunda categoria.