Axiomas de separabilidade
Definições e exemplos
Espaços $T_0$
Dizemos que um espaço topológico $(X, \tau)$ é $T_{0}$ se para quaisquer $x, y \in X$ distintos existir um aberto $A$ tal que $(x \in A$ e $y \notin A)$ ou $(x \notin A$ e $y \in A)$.
- Mostre que Qualquer conjunto $X$ com mais de dois pontos, munido da topologia caótica não é $T_{0}$.
- Seja $X$ um conjunto qualquer com pelo menos dois elementos. Fixe $x, y \in X$ distintos e defina $\tau=\{A \subset X: x, y \in A$ ou $A=\emptyset\}$. Verifique que $(X, \tau)$ é um espaço topológico. Contudo, mostre que não existe aberto em $X$ tal que $x \in A$ e $y \notin A$ ou $y \in A$ e $x \notin A$. Logo $(X, \tau)$ não é $T_{0}$.
- Demonstre que um espaço topológico $(X, \tau)$ é $T_{0}$ se, e somente se, para quaisquer $x, y \in X$ distintos e para quaisquer bases locais $\mathcal{B}_{x}, \mathcal{B}_{y}$ para $x$ e $y$ respectivamente, tivermos que $\mathcal{B}_{x} \neq \mathcal{B}_{y}$.
- Mostre que $(X, \tau)$ é $T_{0}$ se, e somente se, para quaisquer $x, y \in X$ distintos tivermos $\overline{\{x\}} \neq \overline{\{y\}}$.
Espaços $T_1$
Dizemos que um espaço topológico $(X, \tau)$ é $T_{1}$ se, e somente se, para quaisquer $x, y \in X$ distintos, existir $A$ aberto tal que $x \in A$ e $y \notin A$.
- Demonstre que $(X, \tau)$ é $T_{1}$ se, e somente se, para todo $x \in X,\{x\}$ é fechado.
- Mostre que um conjunto $X$ com a topologia cofinita é sempre $T_{1}$.
- Mostre que um espaço finito é $T_{1}$ se, e somente se, tem a topologia discreta.
- Dê um exemplo de um espaço $T_{0}$ que não seja $T_{1}$.
Espaços $T_2$
Dizemos que $(X, \tau)$ é $T_{2}$ (espaço de Hausdorff) se, para todo $x, y \in X$ distintos, existem $A, B$ abertos tais que $x \in A, y \in B$ e $A \cap B=\emptyset$.
- Mostre que $X$ munido da topologia cofinita é $T_{1}$, mas não é $T_{2}$ se $X$ for infinito.
- Demonstre que se $(X, d)$ é um espaço métrico, então tal espaço é de Hausdorff (com a topologia induzida pela métrica).
Espaços $T_3$
Dizemos que $(X, \tau)$ é $T_{3}$ se, para quaisquer $x \in X$ e $F \subset X$ fechado tais que $x \notin F$ existirem $A, B$ abertos tais que $x \in A$, $F \subset B$ e $A \cap B=\emptyset$. Se, além disso, $(X, \tau)$ é $T_{1}$, dizemos que $(X, \tau)$ é um espaço regular.
- Seja $(X, \tau)$ um espaço topológico. Demonstre que $(X, \tau)$ é $T_{3}$ se, e somente se, para todo $x \in X$ e para todo aberto $V$ tal que $x \in V$, existe um aberto $A$ tal que $x \in A \subset \bar{A} \subset V$.
- Prove que um espaço topológico $(X, \tau)$ é $T_{3}$ se, somente se, para todo $x \in X$ existe um sistema fundamental de vizinhanças fechadas para $x$.
- Considere $\mathbb{R}$ com a topologia gerada pelos conjuntos da forma $ ] a, b[\backslash C $, onde $a<b \in \mathbb{Q}$ e $C \subset \mathbb{R}$ é enumerável. Vamos chamar tal espaço de reta esburacada.
- Mostre que isso é uma base para tal topologia;
- Mostre que tal espaço é de Hausdorff;
- Mostre que todo subconjunto enumerável é fechado;
- Mostre que tal espaço não é regular.
- Sejam $(X, \tau)$ espaço topológico e $Y \subset X$ subespaço. Mostre que se $(X, \tau)$ é $T_{i}$ para $i=0, \ldots, 3$, então $Y$ também é.
Espaços $T_4$
Dizemos que $(X, \tau)$ é $T_4$ se, para quaisquer $F, G \subset X$ fechados disjuntos, existirem $A, B$ abertos disjuntos tais que $F \subset A, G \subset B$. Se, além disso, $(X,\tau)$ é $T_1$, dizemos que $(X, \tau)$ é espaço normal.
- Conclua que todo espaço $T_4$ é um espaço $T_3$.
- Mostre que todo espaço métrico é $T_4$.
- O espaço de Sierpinski é um espaço topológico $(X, \tau)$, de modo que, seja $X = \{a, b\}$, com $a \neq b$, e seja $\tau = \{\emptyset,{a}, X\}$. Mostre que esse espaço não é regular nem Hausdorff, mas é normal.
- Mostre que todo espaço discreto é $T_4$.