A topologia da ordem satisfaz $T_2$
Seja $(X, \preceq)$ um conjunto totalmente ordenado e $\tau$ a sua topologia da ordem. Então $(X, \tau)$ satisfaz $T_2$.
Demonstração. Sejam $a, b\in X$, $a\neq b$, e suponha sem perda de generalidade que $a\prec b$.
- Se existe $c\in X$ tal que $a\prec c\prec b$, então $]c, +\infty[$ e $]-\infty, c[$ são abertos disjuntos contendo $b$ e $a$, respectivamente.
- Se não existe $c\in X$ tal que $a\prec c\prec b$, então $]a, +\infty[$ e $]-\infty, b[$ são abertos disjuntos contendo $b$ e $a$, respectivamente.
Segue que $(X, \tau)$ satisfaz $T_2$.