Pelo item anterior temos que $|a=c||\varphi(c)|\leq |\varphi(a)|$:

• Assim pela própria definição de supremo temos que $\sup_c |a=c||\varphi(c)| \leq |\varphi(a)|$
• Sabemos que $|\varphi(a)|=|a=a||\varphi(a)|$ e por consequência, $|a=a||\varphi(a)| \leq \sup_c|a=c||\varphi(c)|$, assim $|\varphi(a)|\leq \sup_c|a=c||\varphi(c)|$

Dessa maneira, juntando os dois resultados temos: $$\sup_c |a=c\wedge \varphi(c)|=|\varphi(a)| $$ $\square$