Seja $(X,\tau)$ um espaço topológico compacto, então todo subconjunto infinito de $X$ admite um ponto de acumulação completo
- Seja $A \subset X$ infinito, vamos então supor que $A$ não possui ponto de acumulação completo, então para todo $x \in X$, existe $V_x$ aberto tal que $x \in V_x$ e $|V_x \cap A|<|A|$
- Sabemos que $X$ é compacto, portanto existe $x_1, \dots ,x_n \in X$ tal que $\bigcup^n_{i=1} V_{x_i} = X $, assim :
- $A = (V_{x_1}\cap A)\cup(V_{x_2}\cap A)\cup \dots \cup (V_{x_n}\cap A)$
- Com isso obtemos uma contradição, pois cada $|V_{x_i} \cap A|<|A|$ $\square$