Vamos supor que $[\![ \varphi\implies \psi ]\!] = 1$:

• Como $\varphi \implies \psi = \neg \varphi \vee \psi$, temos então que :

$$1 = [\![\varphi \implies \psi]\!]=[\![\neg \varphi \vee \psi]\!] = -[\![\varphi]\!] + [\![\psi]\!]$$

• Assim através das operações de uma Álgebra de Boole temos $[\![\varphi]\!]\leq [\![\psi]\!]$

Vamos supor que $[\![\varphi]\!] \leq [\![\psi]\!]$

• como $[\![\varphi]\!] \leq [\![\psi]\!]$, segue que $[\![\varphi]\!] \implies [\![\psi]\!] = 1$ e assim

$$1 = [\![\varphi]\!]\implies [\![\psi]\!] = -[\![\varphi]\!] + [\![\psi]\!] = [\![\neg\varphi\vee\psi]\!] = [\![ \varphi\implies \psi ]\!]$$ $\square$