$A \subset B \implies A^\circ \subset B$ já que $A^\circ \subset A$, vamos supor que existe $V$ aberto $\subset A^\circ$ tal que $V \nsubseteq B^\circ$, assim $V \in \mathcal{V}=\{ V \subset X : V$ é aberto e $V \subset A \}$, portanto $V \subset B$ e sendo V aberto, temos que $V \subset B^\circ$, o que configura uma contradição, portanto $A^\circ \subset B^\circ$. $\square$