Vamos realizar uma indução, suponha todos os 3 nos casos triviais e assim iremos mostrar $[\![ a = b ]\!] [\![ b = c ]\!] \leq [\![ a = c ]\!]$, os outros dois são análogos:

• Vamos primeiramente mostrar que $[\![ a \subset b ]\!] [\![ b = c ]\!] \leq [\![ a \subset c ]\!]$
  • $$\begin{array}{ll} [\![ a \subset b ]\!] [\![ b = c ]\!] &= \displaystyle(\inf_{t \in dom(a)}(a(t)\rightarrow [\![ t \in b ]\!]))[\![ b = c ]\!] \\ &= \displaystyle(\inf_{t \in dom(a)}(-a(t) + [\![ t \in b ]\!]))[\![ b = c ]\!] \\ &= \displaystyle(\inf_{t \in dom(a)}([\![ b = c ]\!]-a(t) + [\![ b = c ]\!][\![ t \in b ]\!])) \end{array}$$
    • E sabemos que $[\![ b = c ]\!]\cdot -a(t) \leq [\![ b = c ]\!], -a(t)$
    • Pela hipótese de indução sabemos que $[\![ t \in b ]\!] [\![ b = c ]\!] \leq [\![ t \in c ]\!]$
  • $$\begin{array}{ll} [\![ a \subset b ]\!] [\![ b = c ]\!] &= \displaystyle(\inf_{t \in dom(a)}([\![ b = c ]\!]-a(t) + [\![ b = c ]\!][\![ t \in b ]\!])) \\ &\leq \displaystyle(\inf_{t \in dom(a)}(-a(t) + [\![ t \in c ]\!]) \\ &\leq \displaystyle(\inf_{t \in dom(a)}(a(t)\rightarrow [\![ t \in c ]\!])) \\ &\leq [\![ a \subset c ]\!] \end{array}$$
• Agora de maneira similar podemos mostrar que $[\![ c \subset b ]\!] [\![ a = b ]\!] \leq [\![ c \subset a ]\!]$
• Com isso vamos unir as duas desigualdades e mostrar que $[\![ a = b ]\!] [\![ b = c ]\!] \leq [\![ b = c ]\!]$
  • $$\begin{array}{ll} [\![ a = b ]\!] [\![ b = c ]\!] &= [\![ a \subset b ]\!][\![ c \subset b ]\!][\![ a = b ]\!][\![ b = c ]\!] &\leq [\![ a \subset c ]\!][\![ c \subset a ]\!] &\leq [\![ a = c ]\!] \end{array}$$ $\square$