Demonstração: Basta mostrar que, dados $x, y \in X$, existem bolas abertas disjuntas centradas em $x$ e $y$ para um espaço métrico $(X, d)$ qualquer. Tomemos as bolas $B_{\delta}(x)$ e $B_{\delta}(y)$ com $\delta = \frac{1}{2} d(x, y)$. Suponhamos que exista um $z \in B_{\delta}(x) \cap B_{\delta}(y)$. Disso decorre que $d(x, z) < \delta$, e $d(y, z) < \delta$. Assim, temos: $d(x, z) + d(z, y) < 2 \delta = d(x, y)$. Contradição — pela desigualdade triangular.