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Separabilidade
Definição
Seja $(X,\tau)$ um espaço topológico. Dizemos que $D \subset X$ é denso em $X$ se $\overline{D}=X$.
A caracterização de densos apresentada a seguir é importante para demonstrações posteriores.
Proposição
Seja $(X,\tau)$ um espaço topológico. $D \subset X$ é denso se, e somente se, para todo aberto não vazio $A$, $A \cap D \neq \emptyset$. Demonstração
Definição
Dizemos que $(X,\tau)$ satisfaz o terceiro axioma de enumerabilidade (3rd countable) se admite um subconjunto denso enumerável. Nesse caso, dizemos que $(X,\tau)$ é um espaço separável, como é mais conhecido.
O segundo axioma de enumerabilidade que trata de bases enumeráveis implica no terceiro axioma de enumerabilidade.
Proposição
Se um espaço topológico $(X,\tau)$ satisfaz o segundo axioma de enumerabilidade, então ele é separável. Demonstração
Exemplo
Todo subespaço de um espaço que tenha base enumerável é separável. Demonstração
A Reta de Sorgenfrey é separável, mas não tem base enumerável. A volta da proposição acima não é válida, exceto quando temos espaços métricos.
Proposição
Se $(X,d)$ é um espaço métrico separável, então $(X,d)$ satisfaz o segundo axioma de enumerabilidade. Demonstração
Existe uma relação entre os três axiomas de enumerabilidade:
separável $\Leftarrow$ segundo axioma de enumerabilidade $\Rightarrow$ primeiro axioma de enumerabilidade
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