Essa é uma revisão anterior do documento!
PlayGround
Extensões contínuas (Parte II): Urysohn e Tietze
Teorema (Lema de Urysohn)
Seja $(X, \tau)$ um espaço topológico. Então $(X, \tau)$ é $T_4$ se, e somente se, para todo $F, G \subset X$ fechados disjuntos, existe uma função $f: X\to[0, 1]$ contínua tal que $ f[F] = \{0\}$ e $f[G] = \{1\}.$
Demonstração. Por um lado, vamos definir a função $g: F\cup G\to\{0, 1\}$ por $g(x)=0$ quando $x\in F$, e $g(x)=1$ quando $x\in G.$ Como $g\upharpoonright F$ e $g\upharpoonright G$ são obviamente contínuas, então $g$ é contínua pelo Exercício 2.1.20. Assim, usando a Proposição 2, existe uma extensão contínua de $g$, $f: X\to[0, 1]$ que satisfaz $f[F] = \{0\}$ e $f[G] = \{1\}.$
Por outro lado, sejam $F, G$ conjuntos fechados disjuntos de $X$. Como existe uma função $f: X\to[0, 1]$ contínua tal que $ f[F] = \{0\}$ e $f[G] = \{1\},$ por conseguinte $f^{-1}([0, \frac{1}{2}[), f^{-1}(]\frac{1}{2},1])$ são conjuntos abertos disjuntos que contêm $F$ e $G$, respectivamente. Portanto, $(X, \tau)$ é $T_4$.
Teorema de Tietze
Seja $(X,\tau)$ um espaço topológico $T_4$. Sejam $F\subset X$ fechado e $f: F\to \mathbb{R}$ função contínua. Então existe uma função $\hat{f}:X\to \mathbb{R}$ extensão contínua de $f$.
Demonstração. Since there exists a function $\varphi:]-1, 1[\to\mathbb{R}$ which is bijective with continuous inverse (e.g., $x\mapsto \frac{x}{1-x^2}$), then we have the continuous function $f\circ\varphi^{-1}=f_1:F\to ]-1, 1[$, and it will be enough to show the existence of a continuous extension of $f_1$ as we will see. Thanks to the fact that there is also a function $\phi:[-1, 1]\to [0, 1]$ which is bijective with continuous inverse (e.g., $x\mapsto \frac{x+1}{2}$), and using Proposição 2, we have that there is a function $g: X\to [-1, 1]$ that extends $f_1.$ Let $F^{'}=g^{-1}[\{-1, 1\}].$ Note that $F$ and $F^{'}$ are disjoint closed sets. By Urysohn's Lemma, there exists a continuous function $h: X\to [0, 1]$ such that $h[F]=\{1\}$ and $h[F^{'}]=\{0\}.$ Thus, we have built a function $\hat{f_1}: X\to ]-1, 1[$ defined by $\hat{f_1}(x)=g(x)h(x)$ that continuously extends $f_1.$ Therefore, $\hat{f_1}\circ \varphi$ is a desired function.
Nesta seção foram usados resultados da seção anterior.