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Extensões contínuas (Parte II): Urysohn e Tietze
Teorema (Lema de Urysohn)
Seja $(X, \tau)$ um espaço topológico. Então $(X, \tau)$ é $T_4$ se, e somente se, para todo $F, G \subset X$ fechados disjuntos, existe uma função $f: X\to[0, 1]$ contínua tal que $ f[F] = \{0\}$ e $f[G] = \{1\}.$
Demonstração. Por um lado, vamos definir a função $g: F\cup G\to\{0, 1\}$ por $g(x)=0$ quando $x\in F$, e $g(x)=1$ quando $x\in G.$ Como $g\upharpoonright F$ e $g\upharpoonright G$ são obviamente contínuas, então $g$ é contínua pelo Exercício 2.1.20. Assim, usando a Proposição 2, existe uma extensão contínua de $g$, $f: X\to[0, 1]$ que satisfaz $f[F] = \{0\}$ e $f[G] = \{1\}.$
Por outro lado, sejam $F, G$ conjuntos fechados disjuntos de $X$. Como existe uma função $f: X\to[0, 1]$ contínua tal que $ f[F] = \{0\}$ e $f[G] = \{1\},$ por conseguinte $f^{-1}([0, \frac{1}{2}[), f^{-1}(]\frac{1}{2},1])$ são conjuntos abertos disjuntos que contêm $F$ e $G$, respectivamente. Portanto, $(X, \tau)$ é $T_4$.
Nesta seção foram usados resultados da seção anterior.