Corolário

A fronteira de uma face é sempre o conjunto de pontos de um subgrafo.

Proposição 1

Uma floresta plana tem exatamente uma face.

Demonstração: A prova desta proposição é obtida usando indução no número de arestas e o Lema 2.

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Lema

Se um grafo plano tiver faces diferentes com o mesmo limite, então o grafo é um ciclo.

Demonstração: Seja $G$ um grafo plano , e seja $H \subseteq G$ o limite de faces distintas $f_1,f_2$ de $G$. Como $f_1$ e $f_2$ também são faces de $H$, a Proposição 1 acima implica que $H$ contém um ciclo $C$. Pelo Lema 2 $(ii)$ , $f_1$ e $f_2$ estão contidos em diferentes faces de $C$. Visto que $f_1$ e $f_2$ têm todo o $H$ como limite,isso implica que $H = C$: qualquer outro vértice ou aresta de $H$ estaria em uma das faces de $C$ e, portanto, não no limite da outra. Assim, $f_1$ e $f_2$ são faces distintas de $C$. Como $C$ tem apenas duas faces, segue-se que $f_1 \cup C \cup f_2 = \mathbb{R}^2$ e, portanto, $G=C$.

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Proposição 2

Em um grafo plano $2$-conexo, cada face é limitada por um ciclo.

Demonstração: Seja $f$ uma face em um grafo plano $2$-conexo $G$. Mostramos por indução em $||G||$ que $G[f]$ é um ciclo. Se $G$ é ele próprio um ciclo, isto é válido pelo Teorema da curva de Jordan ; portanto, assumimos que $G$ não é um ciclo.

Pela Proposição, existe um grafo plano $2$-conexo $H \subseteq G$ e um $H$-caminho plano $P$ tal que $G = H \cup P$. O interior de $P$ está em uma face $f'$ de $H$, que pela hipótese de indução é limitada por um ciclo $C$.

Se $G[f] \subseteq H$, então, pelo Lema 1 $(ii)$, $f$ também é uma face de $H$, e estamos em casa pela hipótese de indução. Se $G[f] \not \subseteq H$, então $G[f]$ encontra $P \setminus H$, então $f \subseteq f'$ e $G[f] \subseteq C \cup P$. Pelo Lema 1 $(ii)$, então , $f$ é uma face de $C \cup P$ e portanto limitada por um ciclo, de acordo com o Lema 1 $(i)$.

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