Seja $ (X, \tau) $ espaço de Hausdorf. Dizemos que $ (K,\sigma)$ é uma compactificação de $X$ se $(K,\sigma)$ é compacto de Hausdorff e $X$ é um subespaço denso de $K$.

Seja $ (X, \tau) $ completamente regular. Chamamos de $ \beta X = \overline{ \{(f(x))_{f\in\mathcal{F}}:x\in X\}}\subset [0,1]^\mathcal{F} $, onde $\mathcal{F}$ é o conjunto de todas as funções contínuas $ f : X \rightarrow [0, 1]$. $ \beta X$ é a compactificação de Stone-Čech.

Seja $ (X, \tau) $ completamente regular. Então

(a) $ \beta X$ é um compacto de Hausdorff tal que $ \overline{X} = \beta X$

(b) Para toda $f : X \rightarrow [0, 1] $ contínua, existe $\tilde{f} : \beta X \rightarrow [0, 1]$ extensão contínua de $f$.

Seja $(X,\tau)$ espaço completamente regular e Y um compacto de Hausdorff tal que $X=Y$ e, para qualquer função $f : X\to[0,1]$ contínua, exista $\tilde{f}: Y\to[0,1]$ extensão contínua de $f$. Então, dada $f: X\to K$ contínua, onde $K$ é compacto Hausdorff, existe $\tilde{f}: Y\to K$ extensão contínua de $f$.

$\beta X$ é o único espaço que satisfaz as condições (a) e (b) do Teorema 2 (a menos de homeomorfismo).

Seja $F \subset \beta\mathbb{N}$ fechado infinito. Então $F$ contém um subespaço homeomorfo a $\beta\mathbb{N}$.

Seja $F\subset \beta\mathbb{N}$ fechado infinito. Então $|F|=|\beta\mathbb{N}|$.

$\beta\mathbb{N}$ é um compacto onde nenhuma sequência não trivial é convergente.

Podemos mostrar facilmente que esta compactificação não acrescenta apenas um ponto. Mais que isso

Considere $X=\mathbb{N}\cup\{a\}$ é um compacto de Hausdorff tal que $\mathbb{N}$ tem a topologia usual (como subespaço) e $\overline{\mathbb{N}}=X$

(a) Mostre que $X$ é homeomorfo ao espaço da sequência convergente.

(b) Mostre que $f:\mathbb{N}\to [0,1]$ dada $f(n)=0$ se n é par e $f(n)=1$ se $n$ é ímpar, não admite extensão contínua para $X$.

© Conclua que $X$ não é a compactificação de Stone-Čech de $\mathbb{N}$.

$\mathcal{p}$ $p$