Normalmente não distinguimos entre grafos isomórficos. Assim, geralmente escrevemos $G=G'$ em vez de $G \simeq G'$. Se quisermos enfatizar que estamos interessados apenas no tipo de isomorfismo de um determinado grafo, nos referimos informalmente a ele como um grafo abstrato.

Uma classe de grafos que é fechada sob isomorfismo é chamada de propriedade do grafo. Por exemplo, conter um triângulo é uma propriedade do grafo: se $G$ contém três vértices adjacentes pareados, então todo grafo isomórfico a $G$ também contém.

Um mapa que usa grafos como argumentos é chamado de invariante de grafo se atribuir valores iguais a grafos isomórficos. O número de vértices e o número de arestas de um grafo são duas invariantes de grafos simples; o maior número de vértices adjacentes aos pares é outro.

Definimos $G \cup G' := (V \cup V', E \cup E')$ e $G \cap G' := (V \cap V', E \cap E')$. Se $G \cap G' = \emptyset$, então $G$ e $G'$ são disjuntos.

Um subgrafo de um grafo $G$ é, em linguagem informal, um “pedaço” de $G$. Assim, dado $G = (V, A)$ um grafo qualquer, um subgrafo de $G$ é um grafo $H = (V’,A’)$, tal que $V'\subset V$ e $A’\subset A$, ou seja, todo vértice de $H$ é vértice de $G$ e toda aresta de $H$ é aresta de $G$, então $H$ é um subgrafo de $G$. Denotamos, pois, $H\subseteq G$.

Assim, se $U \subseteq V$ é qualquer conjunto de vértices, então $G[U]$ denota o grafo em $U$ cujas arestas são precisamente as arestas de $G$ com ambas as extremidades em $U$. Se $H$ é um subgrafo de $G$, não necessariamente induzido, abreviamos $G[V(H)]$ para $G[H]$.

A figura abaixo exemplifica a diferença entre essas duas subestruturas. Nela, o grafo $H'$ é um subgrafo do grafo $G$ representado e possui como vértices os elementos do conjunto $\{0,1,2,3,4\}$. Suas arestas são algumas arestas de $G$ que possuem dois desses vértices como extremidades. Ainda assim, $H'$ não é um subgrafo induzido de $G$, pois a aresta $\{0,1\}$ (presente no grafo $G$) não é uma aresta de $H'$. O grafo $H$, por outro lado, é o subgrafo de $G$ induzido por $\{0,1,2,3,4\}$.

As seguintes observações podem ser feitas:

• Todo grafo é um subgrafo de si próprio;
• Um subgrafo de um subgrafo $G$ também é um subgrafo de $G$;
• Um vértice de um grafo $G$ é um subgrafo de $G$;
• Uma aresta, e os vértices aos quais ela é incidente, de um grafo $G$ é um subgrafo de $G$;