Dado $G$ infinitamente conexo, $G$ possui uma subdivisão de $K^{\aleph_{0}}$.
Seja $V = \{v_{n}: n \in \mathbb{N}\}. Consideremos um caminho entre $v_{0}$ e $v_{1}$. Conseguimos um caminho entre $v_{2}$ e $v_{0} disjunto a esse, uma vez que há finitas arestas no caminho entre $v_{0}$ e $v_{1}$ e, como $G$ é infinitamente conexo, $G$ menos esse caminho ainda é conexo. Analogamente, conseguimos um caminho entre $v_{2}$ e $v_{1}$. Como em cada etapa precisamos “evitar” apenas uma quantidade finitas de arestas, podemos fazer isso para todos os vértices.
Mas temos mais do que isso:
Dado $G$ infinitamente conexo, $G$ possui uma subdivisão de $K^{\aleph_{0}}$ que gera $G$.
Basta fazermos um processo similar ao feito anteriormente, mas garantindo que os vértices dos caminhos também fazem parte da subdivisão. Seja $(w_{n})_{n \in \mathbb{N}} uma enumeração para $V(G)$. Seja $v_{0} = w_{0}$ e $v_{1} = w_{1}$. Seja $v_{2} = \{w_{k}: k$ é o menor índice que ainda não faz parte da enumeração $\}$, e assim por diante.