Almost Smooth Graphs
Definição
Dizemos que dois grafos $G$ e $H$ são isomorfos se existe $f : V(G) \rightarrow V(H)$ uma bijeção e se $u$ e $v$ são vértices adjacentes em $G$ se e somente se $f(u)$ e $f(v)$ também são em $H$.
Definição
Dizemos que um grafo $G=(V,E)$ é almost smooth se for isomorfo a $G[W]$ tal que $W \subset V$ e $|V \setminus W|<|V|$
Definição
Dizemos que um grafo $G=(V,E)$ é não trivial se ele não possui um clique nem um subconjunto independente de tamanho $|V|$.
Problema em aberto
Existe um grafo almost smooth não trivial de tamanho $\omega_1$?
Resultado parcial
Se vale a hipótese do contínuo generalizada e se toda árvore de aronszajn for especial, então $|\mathcal{I}(G)|= 2^{\omega_1}$ para todo $G \in \mathcal{K}$. Solução