Essa é uma revisão anterior do documento!

a) \(\implies\) b)

Se \(\lambda =0\) é trivial. Se \(\lambda > 0\) vamos supor que \(G \setminus F\) possui apenas finitas componentes conexas disjuntas de ordem \(\geq \lambda\), vamos nomeá-las \(C_0, C_1, \dots, C_k\) e tome em cada componente um conjunto de redução \(F_i\)

• Vamos então analisar as componentes de \(G \setminus (F\cup F_0\cup F_1 \cup \dots \cup F_k)\), tal união será um conjunto finito
• Como cada \(F_i\) é redutor em sua respectiva componente, cada componente de \(C_i\) pertencerá a algum \(A(\mu)\) com \(\mu < \circ(C_i)\), ou seja, possuem ordem menor que \(\lambda\)
• Assim nosso novo redutor \(F`\) “reduz mais ainda as componentes de \(G\)”, assim pelo item anterior como \(C_i \in A(\alpha)\) para todo \(i\) e \(\alpha < \lambda\), então \(\circ(G) < \lambda\), um absurdo, portanto devem existir infinitos conjuntos de tal ordem, para assim não podermos tomar um redutor que “quebra todas as componentes de tal ordem”

b) \(\implies\) c)

Vamos realizar indução em \(\circ(G)\), se \(\lambda = 0 \)

• \(G\) grafo sem raio, portanto \(G \in A\), ie, existe \(\lambda\) tal que \(G \in A(\lambda)\) e \(\circ(G)= \lambda\)
• Caso \(\circ(G)>0\) é trivial, pois todos os grafos finitos tem ordem 0
• HI existem infinitos grafos conexos disjuntos de ordem \(\lambda\)
• Se \(\circ(G)> \lambda^+\), então por b) temos duas opções, ou existem infinitas componente \(C\) de tamanho exatamente \(\lambda\), neste caso terminamos, ou existem infinitas componentes de tamanho \(> \lambda\), ou seja, \(\lambda < \circ(C) < \circ(G)\), assim com cada \(C \in A\) construímos subconjuntos de de \(G\) através dos subconjuntos dos \(C\), dessa forma pela hipótese de indução + b) temos o que queríamos

c) \(\implies\) a)

Se \(H_1, H_2, \dots\) são infinitos grafos conexos e disjuntos de \(G\) com \(\circ(H_i) = \lambda\), temos que \(\circ(\bigcup H_i)>\lambda\), pela definição da classe, como sabemos que se \(H \subset G\) então \(\circ(H) \leq \circ(G)\) implica que \(\circ(\bigcup H_i) < \circ(G)\) e portanto \(\circ(G) > \lambda\)