Essa é uma revisão anterior do documento!

a) \(\implies\) b)

Se \(\lambda =0\) é trivial. Se \(\lambda > 0\) vamos supor que \(G \setminus F\) possui apenas finitas componentes conexas disjuntas de ordem \(\geq \lambda\), vamos nomeá-las \(C_0, C_1, \dots, C_k\) e tome em cada componente um conjunto de redução \(F_i\)

• Vamos então analisar as componentes de \(G \setminus (F\cup F_0\cup F_1 \cup \dots \cup F_k)\), tal união será um conjunto finito
• Como cada \(F_i\) é redutor em sua respectiva componente, cada componente de \(C_i\) pertencerá a algum \(A(\mu)\) com \(\mu < \circ(C_i)\), ou seja, possuem ordem menor que \(\lambda\)
• Assim nosso novo redutor \(F`\) “reduz mais ainda as componentes de \(G\)”, assim pelo item anterior como \(C_i \in A(\alpha)\) para todo \(i\) e \(\alpha < \lambda\), então \(\circ(G) < \lambda\), um absurdo, portanto devem existir infinitos conjuntos de tal ordem, para assim não podermos tomar um redutor que “quebra todas as componentes de tal ordem”

b) \(\implies\) c)

Vamos realizar indução em \(\circ(G)\), se \(\lambda =0 \)

c) \(\implies\) a)