a) \(\implies\) b)

Se \(\lambda =0\) é trivial. Se \(\lambda > 0\) vamos supor que \(G \setminus F\) possui apenas finitas componentes conexas disjuntas de ordem \(\geq \lambda\), vamos nomeá-las \(C_0, C_1, \dots, C_k\) e tome em cada componente um conjunto de redução \(F_i\)

• Vamos então analisar as componentes de \(G \setminus (F\cup F_0\cup F_1 \cup \dots \cup F_k)\), tal união será um conjunto finito
• Como cada \(F_i\) é redutor em sua respectiva componente, cada componente de \(C_i\) pertencerá a algum \(A(\mu)\) com \(\mu < \circ(C_i)\), ou seja, possuem ordem menor que \(\lambda\)
• Assim nosso novo redutor \(F`\) “reduz mais ainda as componentes de \(G\)”, assim pelo item anterior como \(C_i \in A(\alpha)\) para todo \(i\) e \(\alpha < \lambda\), então \(\circ(G) < \lambda\), um absurdo, portanto devem existir infinitos conjuntos de tal ordem, para assim não podermos tomar um redutor que “quebra todas as componentes de tal ordem”

a) + b) \(\implies\) c)

Vamos realizar indução em \(\circ(G)\), se \(\lambda = 0 \)

• \(G\) grafo sem raio, portanto \(G \in A\), ie, existe \(\lambda\) tal que \(G \in A(\lambda)\) e \(\circ(G)= \lambda\)
• Caso \(\circ(G)>0\) é trivial, pois todos os grafos finitos tem ordem 0
• HI existem infinitos grafos conexos disjuntos de ordem \(\lambda\)
• Se \(\circ(G)> \lambda^+\), então por b) temos duas opções, ou existem infinitas componente \(C\) de tamanho exatamente \(\lambda\), neste caso terminamos, ou existem infinitas componentes de tamanho \(> \lambda\), neste caso tomemos uma destas componentes \(C\) e vamos realizar um redução nela gerando novas componentes \(C_i^*\) de ordem menor valendo b), dessa forma pela hipótese de indução temos que infinitas \(C_i^*\) tem ordem \(\lambda\), como queríamos

c) \(\implies\) a)

Se \(H_1, H_2, \dots\) são infinitos grafos conexos e disjuntos de \(G\) com \(\circ(H_i) = \lambda\), temos que \(\circ(\bigcup H_i)>\lambda\), pela definição da classe, como sabemos que se \(H \subset G\) então \(\circ(H) \leq \circ(G)\) implica que \(\circ(\bigcup H_i) < \circ(G)\) e portanto \(\circ(G) > \lambda\)