Um segmento de reta no plano euclidiano é um subconjunto de $\mathbb{R}^2$ que possui a forma $\{p + \lambda (q-p) | 0 \leq \lambda \leq 1\}$ para pontos distintos $p,q \in \mathbb{R}^2$. Um polígono é um subconjunto de $\mathbb{R}^2$ que é a união de um número finito de segmentos de reta e é homeomorfo ao círculo unitário $S_1$, o conjunto de pontos em $\mathbb{R}^2$ a uma distância $1$ da origem. Aqui, como mais tarde, assume-se que qualquer subconjunto de um espaço topológico carrega a topologia do subespaço.

Um arco poligonal é um subconjunto de $\mathbb{R}^2$ que é a união de um número finito de segmentos de reta e é homeomorfo ao intervalo unitário fechado $[0,1]$. As imagens de $0$ e de $1$ sob tal homeomorfismo são os pontos finais deste arco poligonal, que os liga e corre entre eles. Em vez de 'arco poligonal', diremos simplesmente arco. Se $P$ é um arco entre $x$ e $y$, denotamos o conjunto de vertices $P \setminus \{x,y\}$, o interior de $P$, por $\dot P$. Como imagens contínuas de $[0,1]$, arcos e uniões finitas de arcos são compactas e, portanto, fechadas em $\mathbb{R}^2$. Seus complementos em $\mathbb{R}^2$, portanto, são abertos.

Seja $O \subseteq \mathbb{R}^2$ um conjunto aberto. Estar ligado por um arco em $O$ define uma relação de equivalência em $O$. As classes de equivalência correspondentes são novamente abertas; são as regiões de $O$. Diz-se que um conjunto fechado $X \subseteq \mathbb{R}^2$ separa uma região $O'$ de $O$ se $O' \setminus X$ tem mais de uma região. A fronteira de um conjunto $X \subseteq \mathbb{R}^2$ é o conjunto $Y$ de todos os pontos $y \in \mathbb{R}^2$ tal que toda vizinhança de $y$ encontra $X$ e $\mathbb{R}^2 \setminus X$. Note que se $X$ for aberto então sua fronteira está em $\mathbb{R}^2 \setminus X$.

A fronteira de uma região $O$ de $\mathbb{R}^2 \setminus X$, onde $X$ é uma união finita de pontos e arcos, tem duas propriedades importantes. A primeira é a acessibilidade: se $x \in X$ está na fronteira de $O$, então $x$ pode ser ligado a algum ponto em $O$ por um segmento de reta cujo interior está inteiramente dentro de $O$.

Como consequência, quaisquer dois pontos na fronteira de $O$ podem ser ligados por um arco cujo interior está em $O$. A segunda propriedade notável da fronteira de $O$ é que ela separa $O$ do resto de $\mathbb{R}^2$. De fato, se $\varphi :[0,1] \to P \subseteq \mathbb{R}^2$ é continua, com $\varphi (0) \in O$ e $\varphi (1) \notin O$, então $P$ encontra a fronteira de $O$ pelo menos no ponto $\varphi(y)$ para $y := inf\{x|\varphi (x) \notin O\}$, o primeiro ponto de $P$ em $\mathbb{R}^2 \setminus O$.

O próximo lema complementa o teorema da curva de Jordan dizendo que um arco não separa o plano. Para facilitar a aplicação posterior, expressamos isso de maneira um pouco mais geral:

Como de costume, denotamos por $S^{n}$ a esfera $n$-dimensional, o conjunto de pontos em $\mathbb{R}^{n+1}$ à distância $1$ da origem. A $2$-esfera menos seu 'pólo norte'$(0,0,1)$ é homeomorfo ao plano; vamos escolher um homeomorfismo fixo $\pi : S^2 \setminus \{(0,0,1)\} \to \mathbb{R}^2$ (por exemplo, projeção estereográfica). Se $P \subseteq \mathbb{R}^2$ é um polígono e $O$ é a região limitada de $\mathbb{R}^2 \setminus P$, vamos chamar $C := \pi ^{-1}(P)$ de círculo em $S^2$, e os conjuntos $\pi ^{-1}(O)$ e $S^2 \setminus \pi^{-1}(P \cup O)$ de regiões de $S^2 \setminus C$.

Nossa última ferramenta é o teorema de Jordan e Schoenflies, novamente adaptado ligeiramente para nossos propósitos: