Usaremos o Teorema de MacLane para descobrir outra conexão entre planaridade e estrutura algébrica: uma conexão entre a dualidade dos grafos planos e a dualidade do ciclo e espaço de corte.

Usaremos termos definidos para grafos planos livremente para multigrafos planos. Observe que, como nos multigrafos abstratos, tanto os loops quanto as arestas duplas contam como ciclos.

Consideremos o multigrafo plano $G$:

Coloquemos um novo vértice dentro de cada face de $G$ e liguemos esses novos vértices para formar outro multigrafo plano $G^*$, como segue: para cada aresta $e$ de $G$ ligamos os dois novos vértices nas faces incidentes com $e$ por uma aresta $e^*$ que se cruza $e$; se $e$ é incidente com apenas uma face, nós anexamos um laço $e^*$ ao novo vértice naquela face, cruzando novamente a aresta $e$. O multigrafo plano $G^*$ formado desta forma é então dual a $G$ no seguinte sentido: se aplicarmos o mesmo procedimento acima para $G^*$, obtemos um multigrafo plano muito similar a $G$; de fato, o próprio $G$ pode ser reobtido de $G^*$ dessa maneira.

Para tornar essa ideia mais precisa, sejam $G=(V,E)$ e $(V^*,E^*)$ quaisquer dois multigrafos planos e coloque $F(G) =: F$ e $F((V^*,E^*))=: F^*$. Chamamos $(V^*,E^*)$ de plano dual de $G$ e escrevemos $(V^*,E^*) =: G^*$, se houver bijeções

$$F \to V^* \qquad E \to E^* \qquad V \to F^*$$

$$ f \mapsto v^*(f) \qquad e \mapsto e^* \qquad v \mapsto f^*(v)$$

que satisfaçam as seguintes condições:

$(i) v^{*}(f) \in f, \forall f \in F;$

$(ii) |e^{*} \cap G|=|\dot e^{*} \cap \dot e| = |e \cap G^{*}|=1, \forall e \in E$, e em cada um $e$ e $e^*$ este ponto é um ponto interno de um segmento de linha reta;

$(iii) v \in f^{*}(v), \forall v \in V.$

Todo multigrafo plano conexo tem um plano dual. De fato, para satisfazer a condição $(i)$, começamos escolhendo de cada face $f$ de $G$ um ponto $v^*(f)$ como um vértice para $G^*$. Podemos então ligar esses vértices por arcos independentes conforme exigido por $(ii)$, e usar a conectividade de $G$ mostrar que existe de fato uma bijeção $V \to F^*$ satisfazendo $(iii)$.

Se $G^*_1$ e $G^*_2$ são dois planos duais de $G$, então claramente $G^*_1 \simeq G^*_2$; de fato, pode-se mostrar que a bijeção natural $v^*_1(f) \mapsto v^*_2(f)$ é um isomorfismo topológico entre $G^*$ e $G$. Nesse sentido, podemos falar do plano dual $G^*$ de $G$.

Finalmente, $G$ é um plano dual de $G^*$. De fato, isso é testemunhado pelos mapas inversos das bijeções da definição de $G^*$: definindo $v^*(f^*(v)) := v$ e $f^*(v^*(f)) := f$ para $f^*(v) \in F^*$ e $v^*(f) \in V^*$, vemos que as condições $(i)$ e $(iii)$ para $G^*$ se transforma em $(iii)$ e $(i)$ para $G$, enquanto a condição $(ii)$ é simétrica em $G$ e $G^*$. Como os duais são facilmente vistos como conecos, essa simetria implica que a conectividade também é uma condição necessária para que $G$ tenha um dual .

Talvez o aspecto mais interessante da dualidade planar seja que ela relaciona geometricamente dois tipos de conjuntos de arestas, ciclos e limites, que vimos anteriormente serem relacionados algebricamente (Teorema):

A proposição acima sugere a seguinte generalização da dualidade plana para multigrafos abstratos. Chame um multigrafo $G^*$ de um dual abstrato de um multigrafo $G$ se $E(G^*)=E(G)$ e as ligações em $G^*$ são precisamente os conjuntos de arestas de ciclos em $G$. (Nem $G$ nem $G^*$ precisam ser conexos agora).

A correspondência entre ciclos e vínculos se estende aos espaços que eles geram:

Pelo Teorema, a Proposição $2$ logo acima implica imediatamente que se $G^*$ é um dual abstrato de $G$, então $G$ é um dual abstrato de $G^*$. Pode-se mostrar que se $G$ é $3$-conexo, então $G^*$ é único (até o isomorfismo e a adição de vértices isolados). Pelo Lema, um subconjunto não vazio de $E(G)=E(G^*)$ é o conjunto de arestas de um bloco de $G$ se, e somente se, ele é o conjunto de arestas de um bloco de $G^*$. Pelo Lema, isso implica que os blocos de $G^*$ são duais dos blocos de $G$.

Embora a noção de dualidade abstrata tenha surgido como uma generalização da dualidade plana, poderia ter sido diferente. Já sabíamos do Teorema que os ciclos e as ligações de um grafo formam conjuntos naturais e relacionados de arestas. Não seria impensável perguntar se, para alguns grafos, a ortogonalidade entre essas coleções de conjuntos de arestas poderia dar a eles padrões de interseção suficientemente semelhantes para que uma coleção formando os ciclos em um grafo pudesse formar as ligações em outro, e vice-versa. Em outras palavras, para quais grafos podemos mover todo o seu conjunto de arestas para um novo conjunto de vértices, redefinindo incidências, de forma que precisamente aqueles conjuntos de arestas que antes formavam ciclos agora se tornam ligações (e vice-versa)? Coloque desta forma, parece surpreendente que isso possa ser alcançado, muito menos para uma classe tão grande e natural de grafos como todos os grafos planares.

Como um dos destaques da teoria da planaridade clássica, mostramos agora que os grafos planares são precisamente aqueles para os quais isso pode ser feito. Admitir um dual abstrato aparece assim como um novo critério de planaridade. Por outro lado, o teorema pode ser lido como uma surpreendente caracterização topológica da propriedade igualmente fundamental de admitir um dual abstrato:

A teoria da dualidade para grafos abstratos e planos pode ser estendida para grafos infinitos. Como estes podem ter vínculos infinitos, seus duais devem então ter 'ciclos infinitos'.