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Uma bipartição do conjunto de vértices de um grafo é dita uma unfriendly partition se cada vértice possui um número de vértices vizinhos da classe oposta a sua maior ou igual que o número de vértices vizinhos de sua própria classe.

Proposição: Todo grafo finito possui uma unfriendly partition.

Demonstração: De fato, basta tomar a partição que maximiza o número de arestas entre as classes. Desta forma, suponha que exista uma vértice que possui mais vizinhos de sua mesma classe que da classe oposta, trocando a classe do vértice obtemos uma partição com ainda mais arestas entre as classes. Contradição!

Proposição: Todo grafo enumerável localmente finito possui uma unfriendly partition.

Demonstração: Dado um grafo $G=(V,E)$ enumerável e localmente finito (i.e. $d(v)<\infty$ $\forall v \in V(G)$), podemos enumerar seus vértices como $V(G)=\{v_0,v_1,\ldots\}$ e, com isso, definir $V_n=\{v_0,\ldots,v_n\}$. Assim, sendo $\mathcal{V}_n$ o conjunto de partições em $U_n$ e $W_n$ ($subset V(G)$) unfriendly partitions de $\{v\in V_n \mid N_G(v)\subseteq V_n\}$