Teorema

Um corolário dos resultados anteriores é a equivalência das seguintes afirmações:

$(i)$ $G$ é planar;

$(ii)$ $G$ não contém $K^{5}, K_{3,3}$ como minor;

$(iii)$ $G$ não contém $K^{5}$, $K_{3,3}$ como minor topológico;

Demonstração: Este resultado sai combinando o Corolário 2 com os Lemas: Lema 1, Lema 2 e Lema.

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Corolário

Todo grafo planar maximal com pelo menos quatro vértices é $3$-conexo.

Demonstração:

O resultado sai aplicando-se o Lema 2 e o Teorema acima.

$\square$