Definição

Um grafo $G$ é dito conexo se não for vazio e se, para todo par de vértices distintos $u,v \in V(G)$ distintos, existir um caminho entre eles. Um grafo que não é conexo é dito desconexo.

Teorema

Um grafo $G=(V, A)$ é desconexo se, e somente se, seu conjunto de vértices $V$ puder ser particionado em dois conjuntos disjuntos e não-vazios, $V_1$ e $V_2$, de forma que não exista uma aresta com uma extremidade em $V_1$ e outra extremidade em $V_2$.

Demonstração

$[\Rightarrow]$ Suponhamos que $G$ seja desconexo e mostremos que existe uma partição de $V$, $V_1$ e $V_2$, tal que não existe uma aresta com uma extremidade em $V_1$ e outra extremidade em $V_2$.

Seja então $G$ um grafo desconexo. Precisamos encontrar uma partição de $V$ que satisfaça a propriedade acima. Considere um vértice $v ∈ V$ qualquer. Forme o conjunto $V_1$ com todos os vértices de $V$ que estejam ligados a $v$ por um caminho.

Como $G$ é desconexo, $V_1$ não contém todos os vértices de $G$. Assim os vértices restantes formam um conjunto não-vazio $V_2$, e não existe nenhuma aresta de $G$ com uma extremidade em $V_1$ e outra em $V_2$. Portanto $V_1$ e $V_2$ formam a partição desejada.

$[\Leftarrow]$ Suponhamos que exista uma partição de $V$, $V_1$ e $V_2$, tal que não existe uma aresta com uma extremidade em $V_1$ e outra extremidade em $V_2$ e mostremos que $G$ é desconexo.

Considere dois vértices arbitrários $v,w ∈ V$ tais que $v ∈ V_1$ e $w ∈ V_2$. Não pode existir nenhum caminho entre $v$ e $w$, pois se existisse, haveria uma aresta com uma extremidade em $V_1$ e outra em $V_2$. Portanto se uma tal partição existe o grafo é desconexo.

$\square$

Definição

As componentes conexas de um grafo $G$ são seus pedaços que são isoladamente conexos. Assim sendo, as componentes conexas de $G$ são subgrafos de $G$ que são conexos.