Prova por indução.

Base: $cr(K_{2,3})=0$ e $cr(K_{3,3}) = 1$.

Passo indutivo: Seja $A, B$ a bipartição de $G\simeq K_{m, 3}$, em que $|B| = 3$, e considere uma imersão de $G$ no plano. Suponha que existem vértices $x, y\in A$ tais que as arestas de $\nabla x$ e $\nabla y$ não se cruzam. Então, para todo $z\in A-\{x, y\}$, alguma aresta de $\nabla z$ cruza com alguma aresta de $\nabla x\cup\nabla y$, afinal, $G[B\cup\{x, y, z\}]\simeq K_{3,3}$. Segue que há pelo menos $m-2$ cruzamentos envolvendo arestas de $\nabla x\cup\nabla y$. Pela hipótese de indução, há pelo menos $\bigg\lfloor\dfrac{m-2}{2}\bigg\rfloor\bigg\lfloor\dfrac{m-3}{2}\bigg\rfloor$ cruzamentos que não envolvem arestas de $\nabla x\cup\nabla y$. Mas $m-2 + \bigg\lfloor\dfrac{m-2}{2}\bigg\rfloor\bigg\lfloor\dfrac{m-3}{2}\bigg\rfloor = \bigg\lfloor\dfrac{m}{2}\bigg\rfloor\bigg\lfloor\dfrac{m-1}{2}\bigg\rfloor$. Se não existem $x, y\in A$ tais que as arestas de $\nabla x$ e $\nabla y$ não se cruzam, então há pelo menos $\begin{aligned}\binom{m}{2}\end{aligned}$ cruzamentos na imersão. Porém, $\begin{aligned}\binom{m}{2}\end{aligned}\ge \bigg\lfloor\dfrac{m}{2}\bigg\rfloor\bigg\lfloor\dfrac{m-1}{2}\bigg\rfloor$.