Se vale $a \leq b$, assim “$a \leq b$” é uma fórmula $\Delta_0$, assim $a\leq b$ sse $[\![ \check{a} \leq \check{b} ]\!]=1$, como queríamos.

Se não vale $a \leq b$, assim vale “$\neg a \leq b$” e é uma fórmula $\Delta_0$, assim $\neg a\leq b$ sse $[\![ \neg \check{a} \leq \check{b} ]\!]=1$, com isso $[\![ \check{a} \leq \check{b} ]\!]=0$. $\square$