$X$ não é compacto:

Como $X$ é um espaço métrico, é suficiente provar que $X$ não é completo. Para isso, basta tomar a sequência $x_n = (\frac{1}{n}, 0)$, esta converge em $\mathbb{R}^2$ para o ponto $(0,0)$, portanto, $x_n$ é de Cauchy. Por outro lado, $x_n$ não converge em $X$, pois $(0,0) \notin X$ (unicidade de limites), então concluímos que $X$ não é completo.