Para verificar tal propriedade, usaremos o Lema de Urysohn. Sejam $F,G \subset \mathbb{R}^n$ fechados disjuntos, então podemos definir a função $f:\mathbb{R}^n \to [0,1]$ dada por: $$f(x)=\frac{d(x,F)}{d(x,F)+d(x,G)}.$$ Tal função está bem definida, pois como $F,G$ são fechados e disjuntos o denominador não se anula, tendo em vista que $d(x,F)+d(x,G)=0$ se e somente se $x \in F \cap G$. Também, é trivial verificar que $f(x) \in [0,1]$, para todo $x \in \mathbb{R}^n$. Além disso, $f$ é contínua, como quociente de somas de funções contínuas e $f[F]=\lbrace 0 \rbrace$ e $f[G]= \lbrace 1 \rbrace$. Portanto, $\mathbb{R}^n$ é $T_4$ e consequentemente normal, pois $\mathbb{R}^n$ é $T_1$. O argumento acima pode ser aplicado para quaisquer espaço métrico (cf).