Seja $\mathcal{A} = \{U_n = (-n, n) \}_{n \geq 1}$, então $\mathcal{A}$ é claramente uma cobertura aberta para $\mathbb{R}$. Como $U_1 \subset U_2 \subset \cdots $, então qualquer subfamília finita de $\mathcal{A}$ estará contida em um intervalo $(- R, R)$, logo não pode cobrir $\mathbb{R}$. Portanto, $\mathbb{R}$ não é compacto.