Vamos mostrar então que $[\![x = \check{a}]\!]=1$:

• $[\![\check{a} \subseteq x]\!] = \inf_{t \in dom(\check{a})}(\check{a}(t) \rightarrow [\![t \in x]\!]) = \inf_{t \in dom(\check{a})}[\![t \in x]\!]$
  • Pois para todo $t \in dom(\check{a})$ é da forma $t = \check{a_y}$
  • Pela hipótese de indução $[\![\check{a_y} = x]\!]=1$ e $x(y) \leq [\![y \in x]\!]$, então $[\![y \in x]\!] = 1$
  • Assim $[\![y \in x]\!][\![y = \check{a_y}]\!] \leq [\![\check{a_y} \in x]\!]$, portanto $[\![\check{a_y} \in x]\!] = 1 = [\![\check{a} \subseteq x]\!]$

• $[\![x \subseteq \check{a}]\!] = \inf_{t \in dom(x)}(x(t) \rightarrow [\![t \in \check{a}]\!]) = \inf_{t \in dom(x)}(x(t) \rightarrow \sup_{\sigma \in dom(\check{a})}\check{a}(t)[\![t =\sigma]\!]) = \inf_{t \in dom(x)}(x(t) \rightarrow \sup_{\sigma \in dom(\check{a})}[\![t =\sigma]\!])$
  • Se $x(t) = 0$, então $x(t) \rightarrow \sup [\![t = \sigma]\!]=1$
  • Se $x(t) = 1$, então existe $a_t \in a$ e $[\![t = \check{a_t}]\!]=1$ tal que, $x(t) \rightarrow \sup_\sigma [\![t = \sigma]\!]=1$
  • Portanto $[\![x \subseteq \check{a}]\!]=1$

Com isso $[\![\check{a} = x]\!]=[\![\check{a} \subseteq x]\!][\![x \subseteq \check{a}]\!]=1\cdot 1 = 1$ $\square$