Seja $(X,\tau)$ espaço topológico.
a) Se $X=\cup_{i\in I}X_i$ e $X_i$ é conexo para cada $i\in I$ tal que $X_i\cap X_j\neq\emptyset$ para todo $i,j\in I$, então $X$ é conexo.
b) Se para cada $x,y\in X$ existe $A\subset X$ conexo tal que $x,y\in A$, então $X$ é conexo.
Demonstração:
a) Suponha que $X$ não é conexo, então exitem $A,B\subset X$ não conjuntos mutuamente separados tais que $X=A\cup B$ e como cada $X_i\subset X=A\cup B$ é conexo, então $X_i\subset A$ o $X_i\subset B$ para cada $i\in I$, si existem $i,j\in I$ tais que $X_i\subset A$ y $X_j\subset B$ seria absurdo pois $\emptyset\neq X_i\cap X_j\subset A\cap B=\emptyset$, por tanto, $\cup_{i\in I}X_i\subset A$ o $\cup_{i\in I}X_i\subset B$, sem perda de generalidade temos que $X=\cup_{i\in I}X_i\subset A$, o que implica $X=A$, por tanto $B=\emptyset$ o que é absurdo.
b) Seja $x_0\in X$ fixo e para todo $y\in X$, existe $A_y\subset X$ conexo tal que $x_0,y\in A$, como $X=\cup_{y\in X}A_y$ e $A_y\cap A_x=\{x_0\}\neq\emptyset$ então por item a) temos que $X$ é conexo.