Demonstração: Como $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ é limitada, então existe uma bola de raio finito $B \subset \mathbb{R}^n$ tal que $x_n \in B, \forall n \in \mathbb{N}$. Além disso, $\overline{B} $ é um conjunto fechado e limitado, portanto compacto. E como toda sequência em um compacto admite subsequência convergente, conclúimos que $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ admite subsequência que converge.