Considere a função $F:T \rightarrow \mathbb{R}$, $F(x) = t(x) - t(x')$, em que $x'$ é o antípoda de $x$. Note que $F$ é uma função contínua e denote por $PN$ o polo norte e $PS$ o polo sul. Considere também, um caminho $f:[0, 1] \rightarrow T$ tal que $f(0) = PN$ e $f(1) = PS$. Nessas condições, $F \circ f$ é uma função contínua e vale que \[ F(f(0)) = t(PN) - t(PS) \\ F(f(1)) = t(PS) - t(PN) \] Se $t(PN) = t(PS)$ o resultado está provado, caso contrário note que $F(f(0))>0$ e $F(f(1))<0$, ou $F(f(1))>0$ e $F(f(0))<0$. De qualquer forma, pelo Teorema do Valor Intermediário, existe um $s \in [0, 1]$ tal que $F(f(s)) = 0$, seja $P = f(s)$, daí \[ F(P) = t(P) - t(P') = 0 \Leftrightarrow t(P) = t(P') \] Logo, $P$ e $P'$ estão na mesma temperatura.