Considere $(X,\tau)$ um espaço topológico enumerável $T_1$, sem pontos isolados. Como $X$ é enumerável podemos escolher $x_n \in X$, com $ n \in \mathbb{N}$ e, como o espaço é $T_1$, podemos afirmar que para cada $x_k\in X$, com $\ k\in\mathbb{N}$ e $k \neq n$, existe $A_k \in (X, \tau)$ de modo que $x_k \in A_k$ e $x_n \notin A_k$. Veja que assim, $$\bigcup_{k\ \in \ \mathbb{N} \ \setminus {\{n\}}} \ A_k = X\setminus {\{x_n \}}\ \in (X, \tau)$$ e, do mesmo modo, temos que $\forall n\in\mathbb{N}, \ X \setminus {\{x_n \}} \in (X,\tau)$ .
Agora, segue do fato de $X$ não ter pontos isolados que se $Y\ \subset \ X$ então $$X\ \setminus {\{x_n \}} \ \cap \ Y = \emptyset \Leftrightarrow Y = \emptyset \ \hbox{ou}\ Y = {\{x_n \}},\ \hbox{e}\ {x_n} \notin X,$$ ou seja, $X\setminus {\{x_n}\}$ é denso. E como $\bigcap_{n \in \mathbb{N}}X\setminus{\{x_n \}} = \emptyset$, $X$ não é espaço de Baire. $\square$