Seja $(X,\tau)$ espaço topológico. Se $A\subset X$ é conexo y $A\subset B\subset\overline{A}$, então $B$ é conexo.
Demonstração:
Suponha que $B$ não é conexo. Então existem $U$ e $V$ mutuamente separados não vazios tais que $B=U\cup V$. como $A\subset U\cup V$ , por A ser conexo, temos $A\subset U$ ou $A\subset V$. Sem perda de generalidade $A\subset U$, então $\overline{A}\cap V \subset\overline{U}\cap V=\emptyset$ assim $V=\emptyset$ o que é absurdo.