Suponha que exista um homeomorfismo $f$ entre $[0, \infty)$ e $\mathbb{R}$, e seja $\beta = f(0)$. Considere $g$ a restrição da função $f$ ao intervalo $(0, \infty)$, note que $g$ é um homeomorfismo e que o último é um conjunto conexo. Mas $g((0, \infty)) = \mathbb{R} \setminus \{beta\}$, logo, temos um homeomorfismo entre um conjunto conexo e um não-conexo, uma contradição. Conclusão, não existe um homeomorfismo entre o intervalo $[0, \infty)$ e a reta real.