Proposição: Seja $(X,\tau)$ espaço topológico. Então $Y\subset X$ é conexo se, e somente se, não existem $A,B\subset X$ mutuamente separados tais que $Y=A\cup B$.

Demonstração:
Caso 1: $Y=X$
Suponha que existem $A,B\subset X$ mutuamente separados tais que $X=A\cup B$, então $\overline{A}=\overline{A}\cap (A\cup B)=A\cup \emptyset=A$ logo $A$ é fechado, da mesma forma $B$ é fechado, por tanto $A=X\setminus B$ y $B=X\setminus A$ são abertos, isto quer dizer que $X=A\cup B$ não é conexo o que é absurdo.
Reciproca, suponha que existem $X$ não é conexo, então existen $A,B\subset X$ abertos tal que $X=A\cup B$, logo $A=X\setminus B$ y $B=X\setminus A$ são fechados, por tanto $\overline{A}\cap B=A\cap B=\emptyset$ e $\overline{B}\cap A=B\cap A=\emptyset$, isto quer dizer que existem $A,B\subset X$ mutuamente separados tais que $Y=A\cup B$ o que é absurdo.
Caso 2: $Y\subset X$
Será suficiente usar a topologia relativa para $Y$