Demonstração. Sejam $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}=: x, (y_n)_{n \in \mathbb{N}}=: y, (z_n)_{n \in \mathbb{N}}=: z \in \prod_{n \in \mathbb{N}} X_n$. É claro que $d(x, y) \in \mathbb{R}$ pois a série $\sum_{n \in \mathbb{N}}\dfrac{d_n (x_n, y_n)}{2^{n + 1}}$ converge, usando teste da comparação, graças ao fato de que $d_n$ é limitado por 1 para cada $n$.

• Vamos mostrar que $d(x, y) = 0 \Leftrightarrow x = y$. Suponha que $d(x, y) = 0$. Então, $\sum_{n \in \mathbb{N}}\dfrac{d_n(x_n, y_n)}{2^{n + 1}} = 0$, o que implica que $d_n(x_n, y_n) = 0$ para qualquer $n \in \mathbb{N}$. Portanto, $x = y$, pois $d_n$ é uma métrica para todo $n$. Reciprocamente, nós temos que para cada $n\in\mathbb{N}, x_n=y_n$. Logo, $d_n(x_n, y_n)=0$ para todo $n,$ o que implica que $d(x, y) = 0$ por definição de $d$.
  

• Vamos mostrar que $d(x, y) = d(y, x)$. Temos que

$$d(y, x) = \sum_{n \in \mathbb{N}} \dfrac{d_n (y_n, x_n)}{2^{n + 1}} = \sum_{n \in \mathbb{N}} \dfrac{d_n(x_n, y_n)}{2^{n + 1}}$$ devido a que $d_n$ é uma métrica em $X_n$ para cada $n$. Assim, $d(x, y) = d(y, x)$.

• Vamos mostrar que $d(x, z) \leq d(x, y) + d(y, z)$. Temos que

$$d(x, y) + d(y, z) = \sum_{n \in \mathbb{N}} \dfrac{d_n(x_n, y_n) + d_n (y_n, z_n)}{2^{n + 1}} \geq \sum_ {n \in \mathbb{N}} \dfrac{d_n (x_n, z_n)}{2^{n + 1}}$$ já que $d_n$ é uma métrica em $X_n$ para cada $n$.

Portanto, $d$ é uma métrica sobre $\prod_{n \in \mathbb{N}} X_n$. Lembre-se de que $d(x, y) \geq 0$, para todo $x, y \in \prod_{n \in \mathbb{N}} X_n$ é deduzido das propriedades que mostramos acima.